アキレスと亀とは？無限の手順でも、有限の時間で追いつける理由

足の速い人が、少し前を歩く亀を追いかけます。やがて追い越すはずなのに、説明の仕方を変えると「いつまでも追いつけない」という結論に見えてしまう。アキレスと亀は、無限の区切りと、有限の時間との違いを考えるパラドックスです。

亀がいた場所へ着くころには、亀は先にいる

亀にハンデを与え、アキレスより前から出発させます。アキレスが亀の最初の位置まで来る間に、亀は少し進みます。アキレスがその新しい位置まで来る間にも、亀はまた少し進みます。

これを繰り返せば、いつでも次の「亀が先にいた場所」があります。だから永遠に追いつけないのでは、というのが話の仕掛けです。ゼノンのこの議論は、アリストテレスの『自然学』第6巻でも紹介されています。

一定の速度で進む、次の架空の設定を使います。

出発してt秒後の位置は、アキレスが10t、亀が100＋tです。追いつく時刻では位置が同じになるので、10t＝100＋t。つまり、9t＝100から、t＝100÷9秒、約11.111…秒です。

毎秒9メートルずつ距離が縮まるから、100メートルの差を埋めるには100÷9秒かかる、と考えても同じです。その時刻を過ぎれば、アキレスは亀より前へ出ます。

今度は、亀が前にいた場所を順にたどります。

時間を足すと、10＋1＋0.1＋0.01＋……となります。この等比級数の和は、10÷(1−0.1)＝100÷9秒。先ほどの計算と一致します。

区間は無限に分けられても、各区間の時間が小さくなれば、合計が有限になることがあります。「区間が無限にある」から「時間も無限に必要」とは言えないのです。

ここで引っかかるのは、「どの区間を終えても、まだ少し先に亀がいる」という点でしょう。それは、有限個の区間を足した時点については正しい説明です。

しかし、それぞれの区間の終了時刻は、すべて追いつく時刻より前になるように選ばれています。そのような時刻だけを列挙しているから、列挙した各時点では、まだ追いついていないのです。

列挙に最後の一個がないことと、その時刻列が近づく値がないことは違います。ここで近づく値が、100÷9秒という極限です。

逆も成り立ちません。1＋1＋1＋……のように、同じ大きさを足し続ければ、合計は増え続けます。無限の和が有限かどうかは、項がどんな小ささで増えるかに依存します。

また、項がゼロに近づくだけで必ず収束する、とも限りません。無限という言葉を一種類の大きさとして扱うより、どんな列を足しているのかを見ることが必要です。

プログラムで「残りの距離の半分だけ近づく」を繰り返すと、数学的な式では距離がゼロへ近づいても、有限回でゼロになるとは限りません。実際の計算には数の表し方や丸めも関わります。

ゲームで見た目の移動を完成させたいなら、「残りが一定値より小さくなったら到着とする」など、目的に合う停止条件を作れます。数学上の極限、実際に移動する物体、処理を繰り返すプログラムは、同じ説明で済むとは限りません。

アキレスと亀の面白さは、走る速さよりも、「どう数えているか」を考え直すところにあります。無限に分けたという事実だけで、有限の出来事まで消えるわけではないのです。

残りの距離を毎回半分にする式では、有限回の後の距離は正のままでも、極限は0です。物理的な追い付き時刻の計算と、反復するプログラムの終了条件を同じ命題にしないようにします。

問い	確認する対象	例
数学の収束	無限の列が近づく値	1、1/2、1/4…の極限は0
有限手順での停止	何回目で終了条件を満たすか	1/100未満になったら終了する