数学的に考える力は、式を速く計算する力だけではありません。条件をそろえる、反例を探す、場合を数えるなど、パズルや日常の説明にも使える16の道具を紹介します。
各項目は意味・具体例・注意点の順に読めます。例は理解のための作例です。言葉だけで相手や現象を決めつけず、成立する条件も確認してください。
目次
条件をはっきりさせる
1．命題
真か偽かを問える文です。対象や前提が未指定なら、先にそれらを定めます。
具体例：「7は奇数」は真偽が定まります。「楽しいね」は、同じ仕方で扱えるとは限りません。
注意点：「xは偶数」はxの値によるため、そのまま一つの真偽が定まる命題と区別します。
2．必要条件・十分条件
PならQのとき、PはQの十分条件、QはPの必要条件です。どちらに矢印が向くかで区別します。
具体例：6の倍数なら偶数です。6の倍数は偶数であるための十分条件ですが、逆は2が反例です。
注意点：言葉の印象ではなく、対象と矢印を固定して判断します。
3．対偶
PならQに対し、QでないならPでないという命題です。古典論理では元の命題と真偽が一致します。
具体例：6の倍数なら偶数、の対偶は、偶数でないなら6の倍数でない、です。
注意点：QならPという逆とは別です。順序を反転し、両方を否定します。
4．反例
「すべてについて成り立つ」という主張を崩す、条件に当てはまる一例です。
具体例：「奇数はすべて素数」に対する9は、奇数でありながら素数ではありません。
注意点：何例か成功しても全体の証明にはなりませんが、一つの反例で全称命題を否定できます。
正しさを示す
5．直接証明
仮定から出発し、定義や既知の結果を用いて結論まで進む証明です。
具体例：偶数2aと2bの和は2(a+b)。整数a+bがあるので和も偶数です。
注意点：具体的な2と4だけを足すことは、すべての偶数についての証明ではありません。
6．背理法
示したい結論の否定を仮定し、それから矛盾を導いて元の結論を示す方法です。
具体例：ある条件を満たす最大の整数があると仮定し、それより大きいものも条件を満たすと示します。
注意点：矛盾がどの仮定から生じたかを明確にします。都合の悪い結果というだけでは矛盾ではありません。
7．数学的帰納法
出発点の成立と、ある段階から次の段階へ進めることを示し、整数の列に沿って証明する方法です。
具体例：1からnまでの和の式を、nからn+1へどう引き継ぐか考えます。
注意点：経験から一般化する帰納とは区別します。最初の一歩と引き継ぎの両方が必要です。
8．鳩の巣原理
箱より多い物を各箱に振り分けると、少なくとも一箱には二つ以上入るという原理です。
具体例：12種類の柄のカードを13枚取れば、同じ柄が少なくとも二枚あります。
注意点：どの柄が重なるかまでは決まりません。「必ずある」と「場所が分かる」は違います。
見方を変える
9．不変量
操作をしても変わらない量や性質です。目標に到達できないことを示す手がかりになります。
具体例：毎回2枚だけカードを裏返すなら、裏の枚数の偶奇に注目します。
注意点：何が変わらないかは操作の規則次第です。一部の例で同じだけでは不十分です。
10．偶奇性
整数が偶数か奇数かという性質です。細かな数値を追わずに可能・不可能を判定できます。
具体例：奇数回だけ左右を反転すると、最初と同じ向きには戻りません。
注意点：偶奇が合うことは到達可能性の必要条件にすぎない場合があります。
11．対称性
ある変換をしても対象の性質や構造が保たれることです。左右対称以外に回転や入れ替えもあります。
具体例：盤面を180度回転しても同じなら、対応する二つの手を考えられます。
注意点：対称だから必ず勝てるとは限りません。中心の扱いなどルールも確認します。
12．逆算
終点や必要な状態から、操作を逆向きにたどる考え方です。
具体例：ある数を3倍して4を足すと19なら、19から4を引き3で割って5と分かります。
注意点：四捨五入や最大値を取る操作は一意に戻せません。逆向きの候補が複数出る場合があります。
数と確率を扱う
13．場合分け
重複と漏れを管理しながら、問題を複数の条件に分けて考える方法です。
具体例：整数を偶数と奇数に分ければ、すべてをどちらか一方に含められます。
注意点：「大きい数」と「好きな数」では重なりや漏れが生じます。分ける基準が重要です。
14．組合せ
順番を区別せずにいくつかを選ぶ考え方です。順番を区別する順列と使い分けます。
具体例：5人から代表2人を選ぶのは10通り。会長と副会長なら役割が違うため20通りです。
注意点：選んだ後の役割や並びに意味があるかを先に決めます。
15．期待値
各結果の値を、その起こる確率で重み付けして足した値です。
具体例：公平なサイコロの目の期待値は3.5ですが、実際に3.5の目が出るわけではありません。
注意点：一度の結果を予言する値ではなく、ばらつきや損失の大きさも別に確認します。
16．条件付き確率
条件が分かったときに、対象となる場合を絞って考える確率です。
具体例：偶数の目が出たと分かった公平なサイコロでは、6である確率は1/3です。
注意点：P(A｜B)とP(B｜A)は通常同じではありません。どの集合を分母にするか確認します。
覚えた言葉を、自分の例で確かめる
気になった一語を選び、「当てはまる例」と「似ているけれど当てはまらない例」を一つずつ作ると、定義の境界が見えてきます。説明が難しいときは、隣の項目との違いから考えてみましょう。