計算や証明の規則をきちんと決めれば、数学のすべての問いに答えられるのでしょうか。ゲーデルの不完全性定理は、一定の条件を満たす形式体系では、それができないことを示します。数学の間違いではなく、証明の仕組みの限界についての定理です。
公理・証明・無矛盾を先に整理する
形式体系は、出発点となる公理と、そこから文を導く推論の規則を定めたものです。証明は、その規則に従って結論まで進む手順です。
無矛盾とは、同じ文について、その文と否定の両方を証明できる状態に陥っていないことです。完全という言葉は、ここでは、体系の言葉で書ける文について、その文か否定のどちらかを証明できることを指します。
「今まで見つけた答えが正しい」と「すべての問いに答えが出せる」は別です。この違いを押さえると、定理が何を問題にしているかが見えてきます。
第1不完全性定理：決着の付かない文がある
自然数の十分な算術を扱え、公理を機械的な手続きで列挙できる無矛盾な体系には、その体系では証明も反証もできない文が存在します。ここでは、ゲーデルの結果をロッサーが改良した形で述べています。Rosser（1936）の論文情報・著者の要旨
単に「まだ人間が難問を解けていない」という意味ではありません。指定した公理と規則だけを使う限り、決着できないという主張です。「数学全体で永遠に何も分からない」へ広げる必要もありません。
第2不完全性定理：自身の無矛盾性を内部で保証できない
十分な算術を備え、通常の仕方で証明を表せる無矛盾な体系は、「この体系は無矛盾である」という主張を、その体系の中では証明できません。ゲーデルの1931年の論文では、これに対応する結果が第11命題で扱われています。ゲーデルの1931年論文・英訳
これも、日々の計算が間違っているという意味ではありません。体系の中で個別の結論を証明することと、その体系全体の無矛盾性を保証することは、異なる課題です。
自己言及は「私は嘘つき」とどう違う？
ゲーデルの証明では、式や証明を自然数で表すことで、算術の中で証明について述べられるようにします。そこから、意味のイメージとしては「この文は、この体系では証明できない」という文を組み立てます。
日常語の「この文は偽である」という嘘つきのパラドックスと似た雰囲気はありますが、同じ文をそのまま数学へ持ち込んだわけではありません。記号の列と証明を、厳密な手続きで扱えることが重要です。
また、「私は嘘つきだ」と言う人が、ときどき本当のことを言うなら、その発言だけで矛盾は生じません。日常語の曖昧さと、形式的な証明の問題を混ぜない方が、定理を理解しやすくなります。
公理を足せば、すべて解決する？
ある文を証明できるように、公理を追加することは考えられます。しかし、追加後も定理の条件を満たすなら、新しい体系にも決着できない文が現れます。特定の問いに答えることと、すべての問いに答えられる体系を作ることは違います。
不完全性定理は、知識を諦める理由ではありません。何を前提にし、どの規則で、何を証明したかを意識するきっかけになります。証明の考え方は、背理法、計算の仕組みはチューリングマシンの記事もどうぞ。
未解決・独立・矛盾は同じではない
| 状態 | 指定した体系Tで何が起きている？ | 注意 |
|---|---|---|
| 未解決 | 証明や反証がまだ知られていない | 将来も不可能とは限らない |
| 独立 | その文も否定もTから証明できない | 別の公理を追加した体系とは分ける |
| 矛盾 | ある文とその否定を両方証明できる | 不完全であることとは違う |
説明用に「道具箱Tではこの問題を決められない」と考えると、道具を足したT′で決まる可能性と、T′にも別の決まらない問題が生じることを両立して理解できます。ただし道具箱はたとえです。不完全性定理の対象は、本文の算術・機械的な列挙・無矛盾性などの条件を満たす形式体系です。人間の判断や会社のルールへ、そのまま定理として移すことはできません。