抜き打ちテストのパラドックスとは？「絶対ないはず」が外れる推理

先生が言いました。「来週の月曜から金曜のどこかで、一回テストをします。ただし、その前日の夜には、翌日がテストだと確実には分からない抜き打ちテストです」。

生徒は少し考えて、「それならテストはできません」と言います。ところが水曜日にテストが行われると、みんな驚いてしまいました。抜き打ちテストのパラドックスは、こんな推理のすれ違いを扱います。

生徒は、金曜日から候補を消す

まず金曜日を考えます。木曜までテストがなければ、残るのは金曜だけ。木曜の夜に翌日のテストが分かるので、抜き打ちではありません。

では木曜日はどうでしょう。生徒は「金曜日はあり得ない」と考えたので、水曜までテストがなければ、木曜しか残らない。やはり前日に分かるから、木曜も消します。

こうして「テストを実施できる日は一日もない」という結論になります。一歩ずつ見ると、もっともらしい推理です。

なのに、水曜のテストに驚く

生徒が「テストはないはず」と信じたなら、火曜の夜には水曜のテストを確信していません。水曜に実施されれば、実際に驚きます。

曜日を消す推理と、テストを受けたときの経験が、ぶつかるのです。この問題は、確率の計算よりも、誰が何を知っているかという知識の問題として扱われます。形式や解釈は、Stanford Encyclopedia of PhilosophyのEpistemic Paradoxesで議論されています。

「テストがある」と「抜き打ちである」を両方使っている

金曜日を消すには、「週内に必ず一回ある」と信じている必要があります。木曜までなければ、金曜にあると結論するためです。

一方、すべての曜日を消した後には、「週内に一回ある」という予告そのものを疑うことになります。すると、前の推理で使っていた情報を、今も同じように使えるのかが問題になります。

この読み方では、推理によって変化した自分の知識を、変わらない前提のように扱っていないかを確かめます。単なる曜日の消去問題に見えて、推理をしている本人の状態も入り込んでいるのです。

「知らない」と「予想が外れる」は違う

生徒が「水曜日だと思う」と予想し、その予想が当たっても、前日に確実に知っていたとは限りません。逆に「テストはない」と思っていたから驚いたという心理的な意味と、論理的に実施日を導けないという意味も違います。

「抜き打ち」をどの意味で使うかで、問題の形が変わります。日常の驚きと、厳密な知識の条件を混ぜずに読むと、議論している場所が分かりやすくなります。

予告を変えると、普通の問題になる

先生が「来週、テストをするかもしれません」とだけ言った場合、木曜までなかったからといって、金曜にあるとは限りません。「必ず一回」という前提が消えたからです。

また、先生が「日程は月曜から金曜のどれかです」とだけ言えば、金曜日の前日に日程が分かっても、予告には反しません。「前日に分からない」という条件がないからです。

一つずつ条件を外すと、どの組み合わせが不思議さを生んでいるのかが見えてきます。

推理している自分も、問題の中にいる

テストがいつあるかを推理すると、自分の知識が変わる。その知識が、テストを抜き打ちと呼べるかに関わる。問題を解く行動そのものが、問題の条件に入っています。

「だから現実の抜き打ちテストは不可能」と結論するより、予告、推理、知識の関係を考える遊びとして読むと、面白さが残ります。

仮定から矛盾を見つける背理法や、自分自身へ条件を当てはめるラッセルのパラドックスも、続けて楽しめる読み物です。