投稿者: tk252525

ブラウワーの不動点定理は、閉じた円板や球などを自分自身の中へ連続に写すと、少なくとも一つ、写した先が元の位置と同じになる点が存在するという定理です。境界を含むことと連続性が重要です。

オイラー標数は、図形を頂点・辺・面などへ分けたとき、それらの数を交互に足し引きして得る位相的な量です。曲面ではχ=V−E＋Fが入口になり、立方体の表面なら8−12＋6=2になります。

ホモトピーは、一つの写像を別の写像へ連続的に変えていくことを表します。輪を縮めるイメージが入口になりますが、空間同士が同じかを判定する「同相」とは違い、何をどう動かす写像なのかが中心です。

クラインの壺は、境界を持たず、全体に一貫した向きを付けられない曲面です。首が胴を突き抜けるガラスの模型が有名ですが、その交差は三次元で表す際に生じるもので、抽象的な曲面そのものの穴ではありません。

メビウスの帯は、細長い帯の端を半回転ひねってから貼り合わせた曲面です。面に沿って一周すると、出発点の裏側だと思っていた場所へつながり、曲面全体で表と裏を一貫して分けられません。

宇宙の熱的死は、仕事を取り出すために使える温度差などが乏しくなり、大規模な活動を支えにくくなる遠い未来のシナリオです。宇宙が燃え尽きる瞬間の名前ではなく、熱力学と宇宙の進化を結び付けた考え方です。

不可逆過程は、系と周囲の両方を、何の変化も残さず元へ戻すことができない過程です。冷めた飲み物を再び温められても、そのために周囲へ別の変化を残すなら、元の冷却が可逆だったことにはなりません。

自由エネルギーは、温度や圧力などの条件を決めたとき、変化の向きや取り出せる仕事を考える熱力学の量です。「無限に使える無料のエネルギー」という意味ではなく、ギブズとヘルムホルツで適する条件が違います。

カルノーサイクルは、二つの温度の熱源の間で動く、可逆な熱機関の理想的な一周です。等温変化と断熱変化を二つずつ組み合わせ、同じ熱源間で動く機関の効率の上限を示します。

ランダウアーの原理は、情報の消去という論理的に元へ戻せない操作に、物理的な代償が伴うことを示します。標準的な条件では、未知の1ビットを初期化するときの平均的な放熱の下限はkBT ln 2です。