メビウスの帯は、細長い帯の端を半回転ひねってから貼り合わせた曲面です。面に沿って一周すると、出発点の裏側だと思っていた場所へつながり、曲面全体で表と裏を一貫して分けられません。
読み：めびうすのおび ／ 英語・別名：Mobius strip Möbius band メビウスの輪
半回転して、両端をつなぐ
紙の帯を普通につなげば円筒の側面のようになります。一方の端を180度ひねってつなぐとメビウスの帯になります。同じ「輪」でも、接着する向きの違いが、面の性質を変えるのです。ここでは紙の厚みを無視した数学的な曲面を考えます。
線を描いて確かめる、面と縁
帯の中央に沿って線を引くつもりでたどると、通常の輪なら同じ側へ戻ります。メビウスの帯では、一周したところで反対側に来たように見え、さらに進むと出発した状態へ戻ります。「裏側へ飛び移る」操作をせずにつながることがポイントです。
縁を指でたどると、縁も一つの輪につながっています。ただし「面が一つ」と「境界が一つ」は別の性質です。表裏を一貫して決められないことは非向き付け可能性、縁が一本の輪であることは境界成分の数として区別します。
真ん中で切ったら、どうなる？
理想的な帯の中心線に沿って一周分を最後まで切ると、普通の輪のように二つには分かれず、一つの長い帯になります。この結果は、切る位置や、初めに何回ひねったかで変わります。「ひねった輪は何でも同じ結果」と覚えないようにします。
切断は曲面のつながりを変える操作です。伸ばす・曲げる変形と同じには扱えません。トポロジーで許す連続変形の話と、はさみで切って別の形を作る工作を分けると、実験の意味がはっきりします。
クラインの壺へつながる入口
メビウスの帯には縁があります。クラインの壺は、同じく非向き付け可能でも縁のない曲面です。二つのメビウスの帯を境界で貼り合わせる見方からも関係を考えられます。名前が似た不思議さでも、境界の有無を比べると違いが見えてきます。