ホモトピーは、一つの写像を別の写像へ連続的に変えていくことを表します。輪を縮めるイメージが入口になりますが、空間同士が同じかを判定する「同相」とは違い、何をどう動かす写像なのかが中心です。
読み：ほもとぴー ／ 英語・別名：homotopy ホモトピー同値
輪ゴムの動きを、写像として見る
円周上の各点を平面へ移す写像を考えます。その像として描かれた輪を、時間とともに小さくして一点へ集めると、輪を描く写像から一定の点だけを返す写像へのホモトピーが得られます。各時刻の形だけでなく、時刻も含めて連続であることが必要です。
穴があると、縮める道が塞がれる
原点を除いた平面で、原点を一周する輪を考えます。原点を通ってよいなら縮められますが、除かれた点を通れない条件では、その輪を一点へ縮められません。「どこで動かしてよいか」という空間の指定が結果を変えます。
同じ絵の輪でも、平面全体の中で考えるのか、穴の空いた平面の中で考えるのかを区別しましょう。輪ゴムを切る、空間の外へ飛び出すといった操作を混ぜると、別の問題になってしまいます。
同相より、粗く見るホモトピー同値
空間同士のホモトピー同値では、行き来する写像の合成が、それぞれの恒等写像とホモトピーでつながることを求めます。行って戻ると各点が厳密に元へ戻る、という同相の条件より柔らかな比較です。
円周と穴の空いた環状の領域は同相ではありませんが、環状領域を中心の円へ縮める変形を使うとホモトピー同値として捉えられます。一方、円板は一点とホモトピー同値です。厚みや大きさより、縮めても残るつながりへ注目するわけです。
いつも端点を固定するのか
道のホモトピーでは、端点を固定したまま変形する条件を置くことがあります。何も固定しないホモトピーと、特定の部分を動かさない相対ホモトピーを区別する必要があります。「ぐにゃぐにゃ変形できる」で終わらず、動かしてよい点といけない点を確認すると議論を追いやすくなります。