箱が3個あります。当たりは1個、ハズレは2個。あなたが一つ選んだ後、司会者が別のハズレの箱を開けました。「残った箱に変更してもいいですよ」。さて、変えますか。
残りは二つだから半々に見えます。でも、標準的なモンティホール問題では、変えると当たる確率は2/3、変えないと1/3です。秘密は、司会者がどうやって箱を開けるかにあります。
目次
箱を選んで、維持と変更を比べよう
司会者は当たりを知り、選んでいないハズレを必ず開け、毎回変更を提案します。開けられる箱が二つなら半々で選びます。この条件での試行です。
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記録はこのページを開いている間だけ残ります。維持と変更を同じ抽選で比べるため、両方の当たり回数の合計は試行回数になります。理論値は維持1/3・変更2/3です。
先に、ゲームのルールをそろえる
- 当たりは3個の箱のどこにある可能性も同じ。
- 司会者は当たりの位置を知っている。
- 司会者は、あなたが選んでいないハズレを必ず一つ開ける。
- 司会者は毎回、残った未開封の箱へ変更する機会を与える。
- 開けられるハズレが二つあるときは、どちらを開けるか半々で選ぶ。
この条件の問題は、MIT OpenCourseWareでも解説されています。ルールが違えば確率も変わり得るので、答えとセットで読んでみてください。
変更して勝つのは、最初にハズレを選んだとき
最初に当たりを選ぶ確率は1/3。この場合、司会者がどちらのハズレを開けても、残った箱はハズレです。変更すると負けます。
最初にハズレを選ぶ確率は2/3。この場合、司会者はもう一つのハズレを開けるので、残った未開封の箱は必ず当たりです。変更すると勝ちます。
つまり「変更して勝つ」と「最初にハズレを選ぶ」が同じケースになります。最初のハズレの確率2/3が、そのまま変更する戦略の当選確率になるのです。
3通りの表にすると、逆転が見える
あなたは最初に箱Aを選ぶとします。当たりの位置を、A、B、Cの3通りに分けます。
| 当たりの位置 | 司会者が開ける箱 | 変えない結果 | 変える結果 |
|---|---|---|---|
| A | BかC | 当たり | ハズレ |
| B | C | ハズレ | 当たり |
| C | B | ハズレ | 当たり |
当たりの位置は3通りが同じ確率です。変えないと勝てるのは1通り、変えると勝てるのは2通り。複雑な式を使わなくても、戦略の違いを数えられます。
二つ残ったのに、なぜ1/2ではない？
司会者は、何も知らずに適当な箱を開けたのではありません。「選ばれていないハズレ」を必ず探して開けています。
最初に選んだ箱は、3個から自分が選んだ一つ。残りの箱は、司会者が中身を知ってハズレを除いた後の一つ。残った経緯が違うので、二つの箱は同じ条件ではありません。
「候補が二つなら半々」と考えるには、どちらも同じ確率になる理由が必要です。候補の数だけで確率は決まりません。
100個の箱なら、どう感じる？
当たりが1個の箱を100個用意し、あなたが一つ選ぶとします。司会者は中身を知っていて、選んでいない99個から、98個のハズレを開けます。
最初に選んだ箱が当たる確率は1/100。最初にハズレを選んでいれば、司会者が当たりを最後の一つに残してくれます。変更すれば当たる確率は99/100です。
「一つ減ったから半々」より、「中身を知っている人がハズレを取り除いた」と読む方が、情報の意味が見えてきます。
司会者が偶然ハズレを開けた場合は？
今度は司会者が当たりを知らず、あなたが選んでいない二つの箱から無作為に一つを開け、偶然ハズレだったとします。この条件では、残った二つが当たりである確率はそれぞれ1/2です。
最初に当たりを選んでいた場合、司会者は必ずハズレを開けます。最初にハズレを選んでいた場合は、半分の確率で当たりを開けてしまいます。「偶然ハズレだった回」に絞ると、最初の選択が当たりだったケースの比重が増えるのです。
標準の問題と、見た目は同じでも情報が生まれた過程が違います。ここが混ざると議論もかみ合わなくなります。
トランプで、ルールを再現してみる
当たりのカード1枚と、ハズレ2枚を伏せ、司会者役だけが場所を知るようにします。選ぶ、ハズレを開ける、変更する、結果を記録する。この手順を繰り返すと、最初のハズレを変更が当たりへ変える様子を体験できます。
短い回数では結果がばらつき、必ず2勝1敗になるわけではありません。回数と割合の関係は、大数の法則で紹介しています。
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