カラスが黒いか調べたいのに、白い靴を観察する。こんな調査に意味はあるのでしょうか。ヘンペルのカラスは、論理的に同じ内容の言い方と、仮説を支える証拠との関係を考えるパラドックスです。
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「すべてのカラスは黒い」の対偶
考える仮説は「カラスであるなら、黒い」です。この対偶は「黒くないなら、カラスではない」となります。二つは、同じ範囲の対象について述べるなら、論理的に同値です。
つまり、黒くないカラスが一つでもあれば、両方の文が同時に成り立たなくなります。逆に、そんな対象がなければ、両方が成り立ちます。対偶を作ったから矛盾が生まれるわけではありません。
一般の形では、「AならばB」と「BでないならAでない」です。Aの範囲がBに含まれると考えると、Bの外にはAもないことが分かります。
白い靴が、なぜ登場するのか
黒いカラスを一羽見つけると、「カラスは黒い」という仮説を支える事例に見えます。同じように、黒くない靴を見つければ、「黒くないものはカラスではない」に合う事例になります。
二つの仮説が論理的に同じなら、片方を支える観察はもう片方も支えるはず。そう考えると、白い靴も「すべてのカラスは黒い」を支える証拠になるように思えます。ところが、靴ばかり調べてカラスについて詳しくなる、という結論には違和感があります。
ヘンペルが1945年の確認の論理についての論文で扱ったのは、こうした証拠の考え方です。「対偶は間違っている」という問題ではありません。
仮説に合うことと、証明できることは違う
一羽の黒いカラスは、仮説に合っています。しかし、ほかのカラスもすべて黒いと証明したことにはなりません。100羽、1,000羽と調べても、対象のすべてを調べたことにはならない場合があります。
反対に、黒くないカラスが一羽でも見つかれば、「すべて」という主張への反例になります。ここには、合う事例を集めることと、反例を見つけることの非対称さがあります。
| 観察 | 仮説との関係 |
|---|---|
| 黒いカラス | 仮説に合う。ただし、これだけで全体の証明にはならない |
| 黒くないカラス | 「すべてのカラスは黒い」への反例になる |
| 白い靴 | 対偶に合う。ただし、得られる情報の大きさは別に考える必要がある |
何を知っていて、どう選んだかで情報は変わる
最初から靴だと分かっているものについて、色だけ確かめたなら、カラスの色を調べる助けはほとんど感じられません。一方、種類が分からない黒くない物を調べ、カラスではなかったと確認するなら、観察前に知らなかった情報が増えます。
このように、証拠の価値を考えるには、文の形だけでなく、背景知識や観察対象の選び方も必要です。どれくらい仮説の確からしさが変わるかは、確率の置き方にも依存します。
アプリのテストでも、「全部」の扱いが難しい
「このアプリは、どんな入力でも落ちない」という主張を考えます。正しい文字列で100回動いたことは、安心材料になります。ただ、長すぎる入力や空欄、通信中断でも動くことまで確認したわけではありません。
そこで、成功例を増やすだけでなく、壊れそうな条件を選んで試します。「今まで問題が起きなかった」から「すべての条件で問題がない」へ進むには、大きな飛躍があるからです。
ヘンペルのカラスは、観察数を増やすことだけが調査ではないと教えてくれます。何を主張し、その主張のどの部分を調べたのか。そこまでそろえると、白い靴と黒いカラスの違いが見えてきます。