角度パズルの解き方｜三角形・二等辺三角形・外角を使う例題

角度の数字がたくさん書かれた図形では、求めたい角をいきなり計算しようとすると迷いやすくなります。角度パズルの基本は、確実に分かる角を一つずつ増やし、三角形や一直線の関係でつなぐことです。

ここでは、三角形の内角、二等辺三角形、外角を使う例題を解きます。いずれもこの記事用の作例で、アプリの収録問題を紹介するものではありません。

角の名前と、最初に使う三つの関係

∠ABCは、Bを頂点として、辺BAとBCに挟まれた角です。真ん中の文字が頂点になります。一つの頂点に何本も線が集まるときは、「Aの角」と省略せず、三文字で区別しましょう。

たとえばAB＝ACなら、等しいのは∠ABCと∠BCAです。頂点Aの角まで同じになるとは限りません。また、一直線の関係を使う前には、三点が本当に同じ直線上にあるか確認します。

三角形ABCでAB＝AC、∠BAC＝44°です。辺BCをCの先まで延長し、その延長上に点Dを取ります。B・C・Dはこの順に一直線上にあります。∠ACDはいくつでしょう。

ヒントを見る

最初に求めるのは、三角形の内側にある∠ABCと∠BCAです。どちらも同じ大きさなので、残りの角度を二つに分けられます。

答えと解き方を見る

答えは112°です。二つの底角の和は180−44＝136°。したがって、∠ABC＝∠BCA＝136÷2＝68°です。

∠BCAと∠ACDを合わせると一直線の180°になるため、∠ACD＝180−68＝112°となります。44＋68＋68＝180、68＋112＝180と、二つの関係で検算できます。

ここで∠ACDのように、一辺を延長してできる外側の角を三角形の外角と呼びます。この外角は、隣り合わない二つの内角の和にもなります。今回なら、44＋68＝112°です。

三角形の内角の和と外角の関係は、ユークリッド『原論』の第I巻命題32、二等辺三角形の底角の性質は第I巻命題5でも確認できます。

三角形PQRで∠PQR＝52°、∠PRQ＝63°です。辺QR上（Q・Rを除く）に点Sを取り、線分PSを引くと、∠QPS＝25°になりました。求める角は、三角形PSRにある∠PSRです。

答えを一手ずつ見る

別の道でも確かめられます。三角形PQSのSの角は180−52−25＝103°です。Q・S・Rが一直線上にあるので、その隣の∠PSRは180−103＝77°。どちらの道でも同じ答えになります。

外角の関係に気づけば、さらに短く解けます。∠PSRは三角形PQSの外角なので、52＋25＝77°です。この解き方には63°を使いません。問題に書かれた数字を、必ず全部使う必要はないのです。

三角形ABCでAB＝AC、∠BAC＝36°です。辺BC上（B・Cを除く）に点Dを取り、線分ADを引くと、∠BAD＝20°になりました。∠ADBはいくつでしょう。

練習問題の答えを見る

底角はそれぞれ（180−36）÷2＝72°です。Dは辺BC上にあるので、∠ABDも72°。三角形ABDから、∠ADB＝180−20−72＝88°と分かります。

ADがAの角を二等分するという条件はありません。∠DACは36−20＝16°で、20°とは異なります。隣の∠ADCは180−16−72＝92°となり、88＋92＝180も確かめられます。

図を見た印象と、問題の条件は分けて考えましょう。線が中央に見えても二等分線とは限りませんし、直角に見えても90°とは限りません。「なぜその角になるか」を一行ずつ書くと、使った条件を後からたどれます。

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