斜めの線や欠けた部分がある図形を見ると、知らない公式が必要に思えることがあります。面積パズルでは、まず「全体から引く」「同じ高さの三角形を比べる」の二つを試してみましょう。長さをすべて求めなくても、面積だけなら決まる場合があります。
ここでは、紙に図を描いて試せる三つの例題で考え方を確認します。いずれもこの記事用の作例で、アプリの収録問題を紹介するものではありません。
最初に確認したい、面積と高さの意味
長方形の面積は「縦×横」、三角形の面積は「底辺×高さ÷2」です。長さがcmなら、面積の単位はcm²になります。
三角形の高さは、底辺を含む直線に対して垂直に測った距離です。斜めの辺の長さを、そのまま高さとして掛けないようにしましょう。どの辺を底辺に選ぶかで、使う高さも変わります。
また、見た目だけで「半分くらい」「同じ長さ」と決めず、問題文の数字や直角の条件を図へ書き込みます。求める部分に薄く色を付けると、残りを引けるかどうかが見やすくなります。
例題1 角を切り取った図形は、全体から引く
長方形ABCDを、左上から時計回りにA・B・C・Dとします。横の辺ABは12cm、縦の辺ADは8cmです。辺AB上にAP＝4cmとなる点P、辺AD上にAQ＝3cmとなる点Qを取り、線分PQで角の三角形APQを切り取ります。残った五角形PBCDQの面積はいくつでしょう。
ヒントを見る
残った五角形の公式を探す代わりに、切り取る前の長方形と、取り除いた三角形を比べます。
答えと解き方を見る
答えは90cm²です。長方形は12×8＝96cm²。三角形APQはAが直角なので、APを底辺、AQを高さとして4×3÷2＝6cm²です。
したがって、残った部分は96−6＝90cm²。斜めの辺PQの長さを計算する必要はありません。長方形が、切り取った三角形と残りの部分に、重なりなく分かれていることを使っています。
この考え方は、へこんだ図形にも使えます。外側に長方形を補い、余分な部分を引く方法です。ただし、引く領域が重なっていれば二重に引いてしまいます。どこを一度ずつ数えているか、図で確かめましょう。
例題2 高さが同じなら、底辺の比で分ける
三角形ABCの面積は42cm²です。辺BC上に点Dを取り、BD：DC＝2：5とします。頂点AとDを結んだとき、三角形ADCの面積はいくつでしょう。
答えと理由を見る
答えは30cm²です。三角形ABDとADCは、底辺が同じ直線BC上にあり、頂点Aも共通です。底辺に対する高さが等しいので、面積の比もBD：DC＝2：5になります。
全体の42cm²を2＋5＝7等分した一つ分は6cm²。ADCはその5個分なので、42×5÷7＝30cm²です。ABDは12cm²で、足すと42cm²に戻ります。
なぜ比だけで解けるのでしょう。高さをhとすると、二つの面積はそれぞれ「BD×h÷2」と「DC×h÷2」です。共通の「h÷2」を掛けているため、底辺の比がそのまま面積の比になります。
この性質は、ユークリッド『原論』の第VI巻 命題1でも扱われています。注意したいのは、高さが等しいという条件です。底辺の比だけが分かっても、高さが違う三角形の面積比は決まりません。
練習問題 比を二段階で使える？
三角形ABCの面積は63cm²です。点Dは辺BC上にあり、BD：DC＝2：1。点Eは線分ADの中点、つまりAE＝EDです。三角形BDEの面積を求めてください。
練習問題の答えを見る
まず、三角形ABDの面積は63×2÷3＝42cm²です。次に、三角形BAEとBDEを比べます。今度はAD上のAEとEDを底辺に選ぶと、頂点Bからの高さが共通で、底辺の長さも同じです。
よって、三角形BDEはABDの半分。42÷2＝21cm²です。全体をいきなり半分にすると31.5cm²になりますが、中点Eが二等分しているのは、ここでは三角形ABDの面積です。
行き詰まったときに見る場所
- 求めたい部分を、面積の分かる大きな図形から引けないか
- 底辺が同じ直線に乗り、頂点が共通の三角形はないか
- 中点や辺の比から、一部の面積が決まらないか
- 答えと残りを足して、元の面積に戻るか
補助線を引くなら、何を比べたいかを先に決めます。「この頂点と中点を結べば、同じ高さの三角形が二つできる」と言えれば、線を引く目的がはっきりします。
このブログの作者が制作する『面積パズル』も、気になった方は以下のストアリンクからご確認ください。配信状況や対応端末は、各ストアの表示をご確認ください。
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