「赤は青より左」「黄は赤のすぐ右」。一つずつなら簡単な条件でも、頭の中でカードを動かしていると、別の条件を忘れてしまうことがあります。
順序推理は、位置や前後関係の手がかりから、並び方を絞る問題です。まず空欄を描き、条件を短く書き直すと、どの候補が残っているかを追いやすくなります。4枚と5枚のカードで試してみましょう。
「より左」と「すぐ右」を分けて読む
最初に、位置を左から1番、2番、3番……と数えることにします。そのうえで、条件が何を指定しているかを分けます。
- 赤は青より左：赤の位置番号は青より小さい。隣同士とは限りません。
- 黄は赤のすぐ右：赤の次の位置に黄があります。「赤・黄」を一組として扱えます。
- EはCの3つ右：位置番号の差が3です。CとEの間には2枚あります。
「右にある」を、勝手に「すぐ隣」と読み替えないことが大切です。また、まだ決まっていない場所へ仮に置いたカードと、条件から確定したカードは、区別しておきましょう。
例題1 4枚のカードを並べる
赤・青・黄・緑のカードを、左から4か所へ1枚ずつ並べます。各カードを1回ずつ使い、空欄は残しません。次の3条件をすべて満たす並び方は何でしょう。
- 赤は青より左にある
- 黄は赤のすぐ右にある
- 緑は両端ではない
左から：［1］［2］［3］［4］
ヒント1を見る
「赤・黄」を、順番の決まったひとかたまりにしてみましょう。この組を置ける場所は3通りあります。
ヒント2を見る
赤・黄が2番と3番にあると、空いているのは両端だけです。緑の条件を守れるでしょうか。
答えと解説を見る
答えは、左から［赤］［黄］［緑］［青］です。「赤・黄」の位置を、漏れなく調べます。
- 2番と3番：緑を置けるのが1番か4番になり、「両端ではない」に反します。
- 3番と4番：赤より右は黄で埋まっています。青を赤より右に置けません。
- 1番と2番：残りは3番と4番。緑は両端ではないので3番に入り、青が4番に入ります。
最後の配置では、赤は青より左、黄は赤のすぐ右、緑は両端以外です。ほかの置き方を除いたうえで全条件を満たす配置が残るので、答えは一つに決まります。
一つ見つけたら、ほかの候補も確認する
条件に合う並び方を見つけることと、それしかないと確かめることは、別の作業です。途中で「たぶんここ」と決めたところがあれば、別の位置でも条件を満たせないかを確認します。
例題1では、赤・黄の置き場所を先に選ぶことで、調べる候補を3通りにまとめられました。すべてのカードをばらばらに動かすより、隣接が決まった組や、置ける場所が少ないカードから見ると整理しやすくなります。
手が止まったら、候補を二つ以上残したまま分けて試しても構いません。その際は「この配置だと緑が端になる」のように、候補を外した理由を条件と結びつけて書きましょう。
例題2 間に2枚あると、どこまで決まる？
A・B・C・D・Eの5枚を、左から5か所に1枚ずつ並べます。各カードは1回ずつ使い、空欄は残しません。
- BはAのすぐ右にある
- EはCの3つ右にある。つまり、CとEの間には2枚ある
- DはCより左にある
左から：［1］［2］［3］［4］［5］
条件をすべて満たす並び方を考えてください。
ヒント1を見る
まずCとEの場所に注目します。5か所の中で、位置番号の差が3になる組は何通りあるでしょう。
ヒント2を見る
Cが1番目だと、DをCより左に置けません。もう一つの組を調べましょう。
答えと解説を見る
答えは、左から［D］［C］［A］［B］［E］です。
- EはCの3つ右なので、CとEの位置は「1番と4番」か「2番と5番」です。
- Cが1番だとDを左へ置けないため、Cは2番、Eは5番に決まります。
- Cより左にある唯一の位置、1番にDを置きます。
- 残った3番と4番に、A・Bをこの順で置きます。
BはAのすぐ右。CとEの間にはA・Bの2枚があり、DはCより左です。CとEの位置の候補をすべて調べ、残る配置も一つなので、これが唯一の答えです。
条件を一つ外すと、答えが増える
例題1から「緑は両端ではない」を外したら、どうなるでしょう。残るのは「赤は青より左」「黄は赤のすぐ右」の2条件です。
残る並び方を見る
条件を満たすのは、次の3通りです。
- ［赤］［黄］［青］［緑］
- ［赤］［黄］［緑］［青］
- ［緑］［赤］［黄］［青］
赤・黄を一組にすると、青はその組より右。緑はその前、組と青の間、青の後ろに置けるので、この3通りで全部です。
元の答えも成立しますが、それだけに決める理由はなくなります。複数の候補が残ったときは、読み落とした条件がないかを見直し、なければ「一つに決まらない」と判断することも必要です。
空欄を描く、位置関係を写す、候補を絞る、元の条件で確かめる。この流れは、条件から結論を導く演繹法を、手元のカードで試す練習になります。
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考え方の参考：UC Berkeley CS 188「Constraint Satisfaction Problems」。決めたい対象・候補・制約を分ける枠組みを紹介しています。カードの条件と解説は本記事用に作成しました。