相関係数は、二つの数値の関係を要約する指標です。ここではピアソンの相関係数rを扱います。−1から1の間で、直線的な関係の向きと強さを表します。「どんな関係でも一つの数字で分かる」「原因の強さが分かる」という指標ではありません。
目次
正・負・0の読み方
| 値 | 直線的な関係の読み方 | 注意点 |
|---|---|---|
| 正 | 一方が大きいほど、他方も大きい傾向 | 一方を増やせば他方が増えるとは限らない |
| 負 | 一方が大きいほど、他方は小さい傾向 | 悪い関係という評価ではない |
| 0 | 直線的な関係を、この指標では捉えない | 曲線的な関係がないとは言えない |
| 1または−1 | 全ての点が傾きのある一直線上 | 因果の証明にはならない |
0.8は−0.8より強い、という読み方はしません。向きが違い、直線へのまとまりを示す絶対値は同じです。「0.7以上なら何にでも強い」といった境界も万能ではなく、測定の性質や用途を踏まえて読みます。
5人の通勤時間と読書時間を組にする
同じ人の通勤時間Xと読書時間Yを一組にした、架空の例です。別々の人のデータを並べたり、片方だけを並べ替えたりしてはいけません。
| 人 | 通勤時間X（分） | 読書時間Y（分） |
|---|---|---|
| A | 10 | 2 |
| B | 20 | 3 |
| C | 30 | 3 |
| D | 40 | 4 |
| E | 50 | 8 |
Xの平均は30分、Yの平均は4分です。平均より大きい・小さいという動きがそろうかを、ずれの積で見ます。
| 人 | X−30 | Y−4 | ずれの積 |
|---|---|---|---|
| A | −20 | −2 | 40 |
| B | −10 | −1 | 10 |
| C | 0 | −1 | 0 |
| D | 10 | 0 | 0 |
| E | 20 | 4 | 80 |
| 合計 | 0 | 0 | 130 |
計算式を小さい数で確かめる
相関係数は、ずれの積の合計を、XとYそれぞれの二乗和の積の平方根で割ります。
r＝Σ［（X−Xの平均）（Y−Yの平均）］÷√｛Σ（X−Xの平均）² × Σ（Y−Yの平均）²｝
今回、Xのずれの二乗和は400＋100＋0＋100＋400＝1,000。Yは4＋1＋1＋0＋16＝22です。したがって、r＝130÷√（1,000×22）≒0.876。この5組では正の直線的な関連があります。
分や秒へ単位を変えても、同じ正の倍率での換算ならrは変わりません。また、どちらかの値が全て同じなら分母が0になるため、ピアソンの相関係数は定義できません。関連がないから0、と置く状況とは違います。
r＝0なのに、完全な規則がある例
Xを−2・−1・0・1・2、Yをその二乗の4・1・0・1・4とします。YはXから完全に決まりますが、ピアソンの相関係数は0です。左側ではXが増えるとYが減り、右側ではXが増えるとYも増えるため、直線的な方向が打ち消されます。
横軸X、縦軸Yで点を描くと、U字の形が見えます。相関係数を出す前に散布図を見る理由はここにあります。数字だけでは、曲線、集団の混在、離れた一点の存在を見落とすことがあります。
相関があっても、原因はまだ分からない
上の通勤と読書の例でも、「通勤を延ばすと読書が増える」とは言えません。交通手段や仕事の形が両方に関係するかもしれず、そもそも5人だけの作例です。原因を考えるには、時間の順序、他の条件、比較の仕方を追加で確かめます。
相関がないことだけで因果関係を否定するのも早計です。曲線的な効果や、集団を混ぜることによる打ち消しがあり得ます。科学的に考えるための用語一覧では、観察から説明を作り、確かめる順番を整理しています。
別の要因が関連を作る例は、交絡の具体例と比較表で詳しく扱っています。集め方からは調査・アンケートの用語一覧をご覧ください。
計算結果を読む前の四つの確認
- 同じ対象のXとYが、正しく対応しているか。
- 散布図に曲線・複数の集まり・離れた点がないか。
- 何組のデータで、どんな方法で集めたか。
- 関連の説明を、原因の断定に置き換えていないか。
小さな標本のrは、一つの観測で大きく動くことがあります。離れた点も、誤記なのか実在の特徴なのかを確認して扱います。また、今回の0.876は5組を記述する数値であり、母集団の相関が同じ値だと保証するものではありません。
確認問題：Xを2倍にしたら、今回のrも2倍？
いいえ。分子が2倍になる一方、分母もXの二乗和の平方根を通じて2倍になり、打ち消し合います。rは0.876のままです。単位換算と、データの対応関係を変える操作は区別します。
参考資料
本文の人物・場面・数値は、説明用に作成した架空の例です。