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確率の問題で迷ったら、計算より先に「何を一回と数え、どんな結果を区別するか」を確認すると見通しが立ちます。この一覧は基本概念を学ぶ入口です。意外な問題を集めた別の一覧と往復しながら読めます。
各用語を意味・具体例・注意点の順に読めます。例は説明のための模型であり、現実の対象へ使うときは条件を確認してください。
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試行と結果
1．試行
結果が確定する一回の手続きを指します。確率を考えるには、何を一回と数えるかを決めます。
具体例：コイン一枚を一度投げることと、二枚を同時に投げることは別の試行設定です。
注意点：同じ手順に見えても条件が変わる場合があります。独立性や確率が同じかは別に確認します。
2．標本空間
試行で起こり得る結果を、漏れなくまとめた集合です。
具体例：六面サイコロ一回なら{1,2,3,4,5,6}です。
注意点：結果の粒度をそろえます。コイン二枚なら表裏と裏表を区別するかが大切です。
3．事象
標本空間の一部として表される、注目する結果の集まりです。
具体例：偶数が出る事象は{2,4,6}です。
注意点：日常語の出来事をそのまま使わず、どの結果を含めるかを定めます。
4．確率
事象の起こりやすさを0から1の数で表し、一定の規則に従って扱う量です。
具体例：公平なサイコロで偶数が出る確率は3/6です。
注意点：一回の結果を保証する数字ではありません。「公平」は模型の前提です。
5．余事象
注目する事象が起きない場合のすべてです。確率は1から元の事象の確率を引いて求めます。
具体例：偶数の余事象は奇数で、確率は1−1/2です。
注意点：「6が出る」の余事象は「1が出る」だけでなく1〜5の全体です。
事象の関係
6．和事象
二つ以上の事象の少なくとも一方が起きることです。
具体例：偶数または5以上なら{2,4,5,6}です。
注意点：両方が起きる場合を二重に数えないようにします。
7．積事象
複数の事象が同時に成り立つことです。
具体例：偶数かつ5以上なら{6}です。
注意点：確率を単純に掛けられるのは独立など条件が整う場合です。
8．排反
二つの事象が同時には起こらない関係です。
具体例：一回のサイコロで1が出ることと2が出ることは排反です。
注意点：ともに正の確率を持つ排反事象は独立ではありません。一方が起きれば他方は起きません。
9．独立
一方が起きたと分かっても、他方の確率が変わらない関係です。
具体例：独立なコイン二回なら、一回目が表でも二回目の表の確率は1/2です。
注意点：見た目が別の出来事だから独立とは限りません。共通の原因を確認します。
10．条件付き確率
ある条件が成立した範囲に絞ったときの確率です。
具体例：偶数が出たと分かっているなら、6である確率は1/3です。
注意点：分母に当たる条件の確率が正である場合の基本式を使っています。
条件と分布
11．ベイズの定理
条件付き確率の向きを入れ替えるとき、元の割合などを使って計算する関係です。
具体例：赤い箱と青い箱のカードの構成を知り、引いた星マークから箱を推測します。
注意点：判定の精度だけでは足りません。どちらの箱を選びやすいかという事前の割合も必要です。
12．確率変数
試行の結果を数値へ対応させるものです。その値がどんな確率で出るかを扱えます。
具体例：コイン二枚の表の枚数Xは0、1、2になります。
注意点：変数という名でも、一つの未確定な定数だけを意味するわけではありません。
13．確率分布
確率変数の値と、その起こりやすさの対応です。
具体例：公平で独立な二枚のコインなら、表の枚数0・1・2の確率は1/4・1/2・1/4です。
注意点：三つの値があるから各1/3とは限りません。元の結果の数え方が必要です。
14．期待値
値をそれぞれの確率で重み付けして足したものです。繰り返した場合の平均と結び付きます。
具体例：公平なサイコロの目の期待値は(1+2+3+4+5+6)/6=3.5です。
注意点：3.5の目が出るという意味ではありません。一回で最も出やすい値とも別です。
15．分散
値が期待値からどれだけ散らばるかを、ずれの二乗の期待値で表す量です。
具体例：毎回1点の仕組みと、半々で0点か2点の仕組みは、期待値1でも分散が違います。
注意点：期待値だけで不確実さや振れ幅を比較できない理由がここにあります。
繰り返しと数え方
16．ベルヌーイ試行
二つの結果の一方が確率p、他方が1−pで起きる試行です。
具体例：表を成功と呼べば、コイン一回を二値の試行として扱えます。
注意点：成功という語は数えたい結果の名前で、価値の良し悪しを意味しません。
17．二項分布
同じ成功確率の独立なベルヌーイ試行を、決まった回数繰り返すときの成功回数の分布です。
具体例：公平なコインを独立に4回投げた表の回数を考えます。
注意点：回ごとに確率が変わったり依存したりすると、単純な二項分布の前提から外れます。
18．大数の法則
一定の条件のもとで、試行を増やすと標本平均が期待値へ近づくことを述べる法則です。
具体例：独立な公平コインの表の割合は、回数が大きくなると1/2に近い範囲へ集まりやすくなります。
注意点：裏が続いた後に表が出やすくなるという埋め合わせの法則ではありません。
19．順列
選ぶ対象の並び順も区別して数える方法です。
具体例：A・B・Cから二つを並べるとABとBAは別で、全部で6通りです。
注意点：順番を区別しない問題へ同じ式を使うと重複して数えます。
20．組合せ
選んだ対象の集まりを、並び順を区別せず数える方法です。
具体例：A・B・Cから二人を選ぶ組はAB・AC・BCの3通りです。
注意点：重複選択を許すかどうかも確認します。ここでは同じ対象を二度選びません。
似た用語を、自分の例で分ける
一つの場面を選び、どの用語が当てはまるか、その条件を説明してみてください。「名前を知っている」から一歩進めるには、似ているけれど当てはまらない例を一つ作る方法も役立ちます。
参考資料
独立と排反：同時に起きるか、確率が変わるか
確率の使い分けクイズ8問
各問で一つ選び、答え合わせで理由を確認してください。理解を確かめるための作例で、能力を判定する検査ではありません。回答内容は送信しません。
まだ答え合わせをしていません。
標本を取り直して、平均のばらつきを見る
1〜6が同じ確率で出る独立なサイコロを、疑似乱数で再現します。選んだ回数を1組とし、20組の標本を毎回新しく作ります。母平均3.5は設定から分かっている模型で、実測や定理の証明ではありません。
20組それぞれの平均を読む
まだ試していません。
組内の回数を増やすと、標本平均の分布は一般に3.5の周りへ集まりやすくなります。ただし20組の小さな試行では、毎回きれいな形になるとは限りません。標本を取り直す比較と、一つの標本へデータを足し続ける比較は別です。
「分からない」をさらに考える：測定と量子の用語20選で、不確定性原理と測定の不確かさの違いへ進めます。