何人集まれば、同じ誕生日の人がいる可能性は半分を超えるでしょうか。一年は365日だから、百人以上は必要だと感じるかもしれません。各日の誕生日が同じ確率で、互いに独立に決まると仮定すると、答えは23人です。少なくとも二人の誕生日が一致する確率は、約50.7％になります。
これは「23人集まれば必ず一致する」という意味ではありません。約半分の集まりでは誰も一致しません。直感とのずれは、誰と誰の一致を数えているのかを分けると理解できます。
自分と同じ誕生日を探す問題とは違う
23人の集まりに自分が含まれる場合、自分と残り22人の誰かが同じ誕生日である確率は約5.9％です。一方、誕生日のパラドックスで問うのは、自分が関わらなくてもよい、集まりのどこかでの一致です。
AさんとBさん、AさんとCさん、BさんとCさんのように比較する組が増えます。23人なら二人組は23×22÷2＝253組あります。この253組が全部独立というわけではないので、253÷365をそのまま確率として使うことはできません。比較の機会が多い理由をつかむ数字として使いましょう。
人数を変えて、二つの確率を比べる
実際の誕生日は入力しません。人数だけを変える計算例題です。下の人数には、比較の基準にする自分も含みます。
計算は毎回同じ条件で行います。偶然の実験を繰り返すシミュレーションではありません。JavaScriptが使えない場合も、下の人数別の表で比較できます。
「全員違う」を計算して、1から引く
一致する組を一つずつ足すと、三人が一致する場合などを重複して数えるおそれがあります。そこで逆に、全員の誕生日が違う確率を考えます。
- 1人目はどの日でもよいので、365/365。
- 2人目が1人目と違う日は364日なので、364/365。
- ここまで重複していなければ、3人目が避ける日は2日なので、363/365。
- 23人目には、既に使われた22日を避ける343日が残ります。
全員違う確率は (365/365)×(364/365)×…×(343/365)。したがって一致がある確率は、1からこの積を引いた約0.5073です。人を一人ずつ加えたときの条件付き確率を掛けています。
自分との一致だけなら、ほかの一人が自分と違う確率は毎回364/365です。全員違う確率は(364/365)の22乗なので、1−(364/365)22≒0.0586となります。避ける日が毎回一日だけなのが、先ほどの計算との違いです。
人数別に見ると、どう増える？
| 人数（自分を含む） | 誰か二人以上が一致 | 自分と誰かが一致 |
|---|---|---|
| 10 | 11.69％ | 2.44％ |
| 20 | 41.14％ | 5.08％ |
| 22 | 47.57％ | 5.60％ |
| 23 | 50.73％ | 5.86％ |
| 30 | 70.63％ | 7.65％ |
| 50 | 97.04％ | 12.58％ |
22人では約47.6％、23人では約50.7％です。50人では誰か二人の一致が約97％になりますが、自分との一致は約13％にとどまります。同じ人数でも、質問の内容で答えは大きく変わります。
現実の誕生日にそのまま当てはまる？
実際の誕生日には季節による偏りがあり、うるう日もあります。双子を含む集団などでは独立という仮定も変わります。この例題は365日・同確率・独立というモデルの計算で、特定のクラスや職場について測った確率ではありません。
365人なら全員違う配置も理論上は残ります。366人を365日に割り当てるなら、少なくとも二人は必ず一致します。計算結果が丸めによって100％と表示されることと、数学的に必ず起きることも区別しましょう。
考えてみよう：先に指定したAさんとBさんが同じ誕生日である確率は？
二人を先に指定しているなら1/365です。「誰でもよい二人がいる」と「この二人が一致する」は異なる出来事です。偶然の一致を評価するときは、結果を見てから注目した組なのか、先に決めていた組なのかを確かめます。
参考：MIT OpenCourseWare：Mathematics for Computer Science, Chapter 16（独立性・誕生日問題）。本文の日常場面と数値例は、特記のない限り説明用の作例です。