クラインの壺は、境界を持たず、全体に一貫した向きを付けられない曲面です。首が胴を突き抜けるガラスの模型が有名ですが、その交差は三次元で表す際に生じるもので、抽象的な曲面そのものの穴ではありません。
読み：くらいんのつぼ ／ 英語・別名：Klein bottle クラインの瓶
目次
壺の絵より、貼り合わせ方から考える
長方形の向かい合う辺を、決まった向きに沿って同じ点として扱います。一組は向きをそろえ、もう一組は向きを反転して貼り合わせると、クラインの壺を表せます。紙の上で離れていた点が、貼り合わせ後には隣り合うという考え方です。
突き抜けるところは、交差点なのか
三次元空間の見慣れた模型では、首が側面を通り抜けるように描かれます。しかし抽象的なクラインの壺では、そこで別々の面の点が合流するわけではありません。絵で重なって見えることと、曲面上で同じ点であることを区別します。
三次元空間では自己交差なしには埋め込めませんが、四次元空間なら自己交差のない埋め込みが可能です。これは空間の次元についての数学的な話であり、現実に四次元の容器を作って水を入れられるという主張ではありません。
境界がない、向きを一貫して付けられない
境界がないとは、曲面上に縁として終わる場所がないことです。非向き付け可能とは、局所で選んだ向きを曲面全体へ矛盾なく広げられないことです。「内側も外側もない」という言い方は入口には便利ですが、この二つを混ぜずに確認すると正確になります。
メビウスの帯も非向き付け可能ですが、こちらには一つの境界成分があります。トーラスも境界のない曲面ですが、向き付け可能です。境界と向きという二本の軸で比べると、三つの曲面を区別できます。
同じオイラー標数でも、同じ形ではない
クラインの壺のオイラー標数は0で、トーラスも0です。それでも向き付け可能性が違うので、両者は同相ではありません。一つの数が一致しても形を完全に特定できるとは限らない、という位相不変量の大事な注意点を教えてくれます。