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待ち合わせの場所を伝えるとき、地図の位置だけでは足りないことがあります。同じ建物の1階か5階か、さらに何時に会うのかも必要です。この「場所や出来事を指定するのに、いくつの独立した数字が必要か」という見方から、次元を考えてみましょう。
目次
次元は、独立に動ける方向の数
身近な幾何では、位置を指定するために必要な独立した座標の数を考えるとわかりやすくなります。ここでの「独立」は、ある数字を変えることが、ほかの数字を変えることと同じ動きにはならない、という意味です。
| 次元 | 基本的な例 | 位置の指定 |
|---|---|---|
| 0 | 一つの点 | 点の中に選び分ける位置がない |
| 1 | 直線 | x |
| 2 | 平面 | x、y |
| 3 | 空間 | x、y、z |
この説明は基本的な空間の見方です。数学には、より広い対象に対する次元の定義もあります。
0次元と1次元――点から線へ
一つの点だけの空間では、その中で別の位置へ動けません。したがって0次元です。ただし、紙に描いた点はインクの広がりがあります。数学の点は、大きさのない理想化された対象です。
直線なら、原点（0）、長さの単位、正の向きを決めれば、一つの座標で位置を指定できます。例えば右を正の向きにすると、原点から右に2単位進んだ点は「2」、左に2単位進んだ点は「−2」です。単なる距離だけでは左右を区別できませんが、正負の符号を含めた一つの数なら区別できます。左右は同じ一本の軸の逆向きなので、2次元とは数えません。
2次元と3次元――面と空間
平面では、横と縦の二つが必要です。「横に2、縦に5」と指定すると、点（2、5）が決まります。横だけがわかっても、同じ横位置にあるどの点なのかは決まりません。
空間では、それに高さや奥行きの座標を加えます。たとえば建物の中で、東西・南北・高さを指定するイメージです。紙に描いた立方体は平面上の絵ですが、三つの独立した方向を持つ立体を表しています。
球の表面は、曲がっていても2次元
地球儀は3次元空間にありますが、表面上の位置なら、緯度と経度のような二つの数で指定できます。球の表面自体は2次元の面として考えられます。
このように、次元は「平らか、曲がっているか」だけで決まりません。曲がった線も、線に沿う距離で位置を指定するなら1次元です。どこに置かれているかと、対象の中で動ける方向を分けて考えるのがポイントです。
4次元空間と、4次元時空の違い
数学では、四つの座標（x、y、z、w）を持つ空間を考えられます。四つ目を時間と決める必要はありません。4次元の立方体に相当するテッセラクトも、この意味の4次元空間で定義されます。
一方、相対性理論でいう4次元時空は、三つの空間座標と一つの時間座標をまとめたものです。「どこで」に加え「いつ」を指定して、一つの出来事を表します。Einstein Onlineの時空の説明
時間を含む時空は、四つの空間方向を持つ普通の幾何と同じ性質ではありません。「4次元は必ず時間」「4次元だから時間を自由に行き来できる」と考えるのは飛躍です。
高次元は、謎めいた世界だけの話ではない
たとえばゲームの状態を、得点・残り時間・ヒント回数・現在のステージで表せば、四つの数を持つデータになります。分析でいう高次元は、多くの特徴を持つデータを指すこともあります。
それは、ゲームが4次元空間に存在するという意味ではありません。次元という言葉に出会ったら、空間、時空、データのどれを数えているのかを確かめると、話がぐっと見えやすくなります。
アニメや漫画は何次元？「画面」と「描かれた世界」を分ける
紙面や通常の画面上の絵は、横と縦の位置を使う平面表現です。この意味では2次元と呼べます。ただし、遠近法や陰影で3次元の部屋を描くことはできます。平面に表示していることと、物語の中の空間に奥行きがないことは同じではありません。
3DCGを使うアニメでは、制作中のモデルの位置を三つの座標で扱い、それを画面へ投影する場合があります。「2次元の画面に3次元の対象を表す」という整理です。また、映像には時間変化がありますが、それだけで日常語の「2次元アニメ」を「3次元」と呼び直す必要はありません。表現の分類と、データの変数の数が違うからです。
点を紙に描いたら厚みがあるのに、なぜ0次元？
数学の点は大きさを持たない理想化です。紙の黒丸や画面のピクセルは、その点を人に示すための印で、実物には広がりがあります。地図上の現在地を丸で示しても、自分がその丸の大きさになったわけではないのと同じように、記号と表している対象を区別します。
もう一つの注意点は「点の集合」と「周囲の空間」の違いです。一つの点だけの対象は0次元でも、3次元空間のどこに置くかを指定するには三つの座標を使います。対象自体の次元と、それを置く空間の次元は一致する必要がありません。
座標による3次元の説明は、OpenStax Calculus Volume 3, 2.2も参考になります。空間についての直感を試すなら、思考実験の一覧へ進めます。