独立と排反の違いとは？同じサイコロで比べる条件と確率

独立は「片方の結果を知っても、もう片方の確率が変わらないこと」、排反は「同時には起こらないこと」です。どちらも事象の関係を表しますが、調べる問いが違います。公平なサイコロ1個で違いを確かめます。

同じ出目から、二つの条件を作る

Aを「偶数が出る」、Bを「3以下が出る」とします。Aは{2,4,6}、Bは{1,2,3}で、同時に起きるのは2だけです。AもBも確率は1/2ですが、Bを知った後のAは1/3になります。

全体：1 2 3 4 5 6
A 偶数：2 4 6
B 3以下：1 2 3
AとBの両方：2

説明用の有限な標本空間。どの出目も同じ確率とします。

重なりがあるので排反ではなく、条件を知ると確率が変わるので独立でもありません。「排反ではないなら独立」という二択にはできないのです。

Cを「1」、Dを「2」とすると、一度に両方は出ません。CとDは排反です。Dが起きたと知ればCの確率は0になります。元は1/6だったので、互いに独立ではありません。

両方の確率が正なら、排反と独立を同時には満たせません。排反ではP(C∩D)=0ですが、独立ならP(C∩D)=P(C)P(D)となり、右辺は正になるからです。確率0の事象を含む場合は、この言い方の条件から外れます。

Aを偶数、Eを3の倍数{3,6}とすると、P(A)=1/2、P(E)=1/3、両方は6だけで1/6です。1/2×1/3=1/6なので独立です。Eを知った後も、3と6のうち偶数は一つで1/2です。

関係	同時に起きる？	片方を知ると？
排反（1と2）	起きない	他方は起きなかったと分かる
独立（偶数と3の倍数）	6で起きる	この例では確率が変わらない

独立は、別の物体を使うことと同義ではありません。同じサイコロの二つの性質でも成立します。一方、別々の人への調査でも、同じ環境や情報の影響があれば独立とは限りません。

赤1枚・青1枚の箱から引き、戻さずもう一度引くとします。最初が赤なら次は青なので、二回の色は独立ではありません。毎回戻して十分に混ぜ、各回を同じ確率で引ける模型なら、独立として扱えます。

「同時に起こるか」と「条件を知った後に確率が変わるか」を順番に質問すると、混同を減らせます。分母の変化は条件付き確率の例題でも確認できます。