数学的帰納法は、自然数などで番号付けされた命題を、最初の場合と次へ進む関係から証明する方法です。たくさんの例を見て一般化する日常的な帰納とは、正しさの示し方が異なります。
1からnまでの和を証明する
命題を1+2+…+n=n(n+1)/2、対象をn≧1の整数とします。まずn=1では左辺も右辺も1なので成立します。これが基底の確認です。
次にn=kで成立すると仮定します。n=k+1の左辺はk(k+1)/2+(k+1)です。まとめると(k+1)(k+2)/2となり、n=k+1の式が得られます。kでの成立からk+1での成立を導けました。
1
基底：n=1で真
2
kで真ならk+1でも真
3
n≧1のすべてへつながる
仮定は循環論法ではないのか
全てで真と最初から仮定しているのではありません。「もしkで真なら、k+1でも真」という条件付きの関係を示します。基底が真なので、1から2、2から3と適用できます。
最初の場合を省くと、次へ進める関係だけがあっても出発できません。逆に最初の数例だけを確認しても、すべてへつながる証明にはなりません。両方が必要です。
ドミノの比喩の限界
最初のドミノが倒れ、各ドミノが次を倒すなら全体へ伝わるという比喩は構造を表せます。ただし数学では「次を倒す」に当たる論証を式などで示さなければなりません。
よくある疑問
強い数学的帰納法は別の原理ですか？
それ以前のすべての場合の成立を仮定して次を示す形があります。自然数については通常の帰納法と同等の証明力を持ち、問題に応じて使い分けます。
参考資料
定義と論点を確認するための資料です。本文の身近な場面と数値は、理解のために作成した例です。