存在命題は、定めた範囲に、ある条件を満たす対象が少なくとも一つあるという命題です。成立を示す方法の一つは、条件を満たす具体例を示すことです。
平方すると9になる整数
3²=9なので、「平方すると9になる整数がある」は成り立ちます。ただし−3も同じ条件を満たします。存在を示しただけでは、対象が一つしかないとは言えません。
ただ一つあると主張したいなら、存在することと、二つ以上はないことの両方が必要です。「解がある」と「解が一意」は別の情報になります。
見つからないことと、ないこと
何回か試して見つからなくても、まだ調べていない範囲にあるかもしれません。存在命題を否定するには、対象範囲のすべてについて条件を満たさないことを示す必要があります。
対象を整数から実数へ変えるだけでも答えは変わります。「平方して2になる数がある」は実数なら真ですが、整数に限定すると偽です。範囲は飾りではなく命題の一部です。
全称と組み合わせると順序が大切
「全員にそれぞれ好きな本がある」と「全員が好きな一冊の本がある」は違います。前者では人ごとに別の本を選べますが、後者では同じ一冊が全員の条件を満たす必要があります。
よくある疑問
存在の証明には実物を示す必要がありますか？
具体例を示す構成的な方法だけでなく、論証によって存在を示す方法もあります。存在が分かることと、効率よく見つけられることは別です。
参考資料
定義と論点を確認するための資料です。本文の身近な場面と数値は、理解のために作成した例です。