全称命題は、定めた範囲のすべての対象について述べる命題です。「すべて」の後ろに隠れている対象と条件を明確にすると、証明すべきことが分かります。
偶数についての主張
「すべての偶数は2で割り切れる」は、整数の中の偶数を対象にしています。任意の偶数は2kと書けるため、2で割ると整数kになり、定義から説明できます。
一方、「すべての素数は奇数」は2という反例で否定できます。2は素数という対象範囲に含まれ、奇数という性質を満たしません。対象外の数を示しても反例にはなりません。
1
対象を定める
2
すべてに性質があるという主張
3
対象内の反例一つで否定
成功例を増やすだけでは足りない
3、5、7、11が奇数であることをいくら確認しても、素数すべての証明にはなりません。有限の対象を全部調べる場合と、無限の対象に通じる論証を示す場合を分けます。
全称命題の否定は「どれも成り立たない」ではなく、「成り立たないものが少なくとも一つある」です。「全員が読んだ」の否定は、少なくとも一人が読んでいないことです。
範囲を狭めて言い直す
「2より大きい素数はすべて奇数」と言い直すと、反例だった2は対象外になります。ただし都合よく条件を追加するだけではなく、修正した命題を改めて証明する必要があります。
よくある疑問
全称命題と一般的な傾向は同じですか？
違います。「多くの場合」や「平均すると」という主張には、一例の例外だけでは反証にならない場合があります。量を表す言葉を確認します。
参考資料
定義と論点を確認するための資料です。本文の身近な場面と数値は、理解のために作成した例です。